ΘΕΜΑ 1ο
Α1.Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης είναι .
Μονάδες 7
Α2. Πότε μια συνάρτηση f παρουσιάζει στο διάστημα για μέγιστο και πότε ελάχιστο;
Μονάδες 4
Α3.Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή κύμανση (R).
Μονάδες 4
Α4.Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με Σωστό ή Λάθος.
1. Για κάθε x>0 ισχύει .
2. Ο συντελεστής μεταβολής παριστάνει ένα μέτρο σχετικής διασποράς των τιμών μιας μεταβλητής.
3. Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόνο ποσοτικών δεδομένων.
4. Οι σχετικές αθροιστικές συχνότητες εκφράζουν το πλήθος παρατηρήσεων κάτω από την τιμή xi.
5. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f διέρχεται από την αρχή των αξόνων όταν f(1)=0.
Μονάδες 5x2=10
ΘΕΜΑ 2ο
Σε ένα διαγώνισμα μαθηματικών η βαθμολογία των μαθητών δίνεται από το παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων νi:
B1. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:
| Κλάσεις βαθ/γίας
[ ) |
Κέντρο κλάσης
xi |
Συχνότητα
νi |
Σχετική συχνότητα
fi |
Αθροιστική συχνότητα
Νi |
Αθρ. σχετ. συχνότητα
Fi |
| [ 4 , 8 ) | |||||
| [ 8 , 12 ) | |||||
| [ 12 , 16 ) | |||||
| [ 16 , 20 ) | |||||
| Σύνολο |
Μονάδες 11
B2. Να βρείτε τη μέση τιμή των βαθμών.
Μονάδες 8
B3. Πόσοι μαθητές έχουν βαθμό μέχρι και 10;
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ 3ο
Έστω η συνάρτησηc. Να βρείτε:
Γ1. Tο πεδίο ορισμού της.
Μονάδες 5
Γ2. Tον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της Cf στο σημείο με τετμημένη 2.
Μονάδες 6
Γ3. Tην εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο παραπάνω σημείο.
Μονάδες 8
Γ4.Tτο σημείο της Cf στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία y=x+2019.
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ 4ο
Σε μια κανονική ή περίπου κανονική κατανομή το 50% των παρατηρήσεων έχουν τιμή μεγαλύτερη του 20.
Το 81,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (16,22) με άκρα του διαστήματος
χαρακτηριστικές τιμές της κανονικής κατανομής.
Δ1.Να δείξετε ότι =20 και s = 2.
Μονάδες 10
Δ2. Να βρείτε το α∈Ν*, αν είναι γνωστό ότι στο διάστημα ανήκει το 95% περίπου των παρατηρήσεων.
Μονάδες 5
Δ3. Αν R είναι το εύρος της κατανομής, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης
Μονάδες 10
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Α1. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ 28-29
Α2. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ 40
Α3. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ92
Α4 .i)Σ ii)Σ iii)Λ iv)Λ v)Λ
ΘΕΜΑ 2ο
Β1.
| Κλάσεις βαθ/γίας
[ ) |
Κέντρο κλάσης
xi |
Συχνότητα
νi |
Σχετική συχνότητα
fi |
Αθροιστική συχνότητα
Νi |
Αθρ. σχετ. συχνότητα
Fi |
| [ 4 , 8 ) | 6 | 5 | 0,10 | 5 | 0,10 |
| [ 8 , 12 ) | 10 | 10 | 0,20 | 15 | 0,30 |
| [ 12 , 16 ) | 14 | 25 | 0,50 | 40 | 0,80 |
| [ 16 , 20 ) | 18 | 10 | 0,20 | 50 | 1 |
| Σύνολο | – | 50 | 1 | – | – |
Β2.
Β3. Είναι όλοι οι μαθητές της κλάσης [4, 8) και οι μισοί της κλάσης [8,12), λόγω ομοιόμορφης κατανομής των παρατηρήσεων εντός της κλάσης (αφού 10 το κέντρο της) δηλ. 5+5=10 μαθητές
ΘΕΜΑ 3ο
Γ1.Πρέπει . Άρα
Γ2.Έχουμε .
Επειδή ,στο σημείο με τετμημένη 2 έχω
Γ3.Η εξίσωση εφαπτομένης στο έχει την μορφή ε: . Άρα έχουμε ε: .
Γ4.Για να είναι η εφαπτομένη (ε1) παράλληλη στην ε2: πρέπει να έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Δηλαδή . Οπότε το ζητούμενο σημείο είναι το ή .
ΘΕΜΑ 4ο
Δ1. Επειδή το 50% των παρατηρήσεων έχουν τιμή μεγαλύτερη του 20 έχω ότι .
Το 81,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα =(16 , 22), άρα s = 2.
Δ2. Στο διάστημα βρίσκεται το 68% των παρατηρήσεων.
Στο διάστημα βρίσκεται το 95% των παρατηρήσεων.
Στο διάστημα βρίσκεται το 99,7% των παρατηρήσεων.
Άρα α = 2.
Δ3.R
f΄(x) =12x-24
f΄(x)=0 12x-24=0 x=2
| x | – 2 + | |
| f΄(x) | – 0 + | |
| f(x) | ||
Άρα
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ:
ΑΝΤΩΝΗΣ ΠΥΡΙΟΧΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
