ΘΕΜΑ Α
Α1. Σελ.133 σχολικού βιβλίου
Α2. Σελ.51 σχολικού βιβλίου
Α3. Σελ. 185 σχολικού βιβλίου
Α4.
α) Λάθος
β) Σωστό
γ) Σωστό
δ) Σωστό
ε) Λάθος
ΘΕΜΑ Β
B1) Af°g=xAg/g(x)∈Af=x≥2 και x-2+1>1=2,+∞
(fog)(x)=fgx=fx-2+1=
=2ln x-2+1-1=2ln (x-2)=ln (x-2)
B2) hx=ln x-2,x>2
h’x=1x-2>0 στο (2,+∞) άρα η h γνησίως αύξουσα επομένως
ειναι 1-1,και αντιστρέφεται. Θα λύσουμε την εξίσωση:
y=hx⇔y=ln x-2ey=x-2⇔x=ey+2
f-1(y)=ey+2
Αραf-1(x) =ex+2,xϵR
B3) ln x-2fxx-2=-∞ από (1) και (2)
x→2ln x-2 =-∞ (1)
fxx-2=2ln x-1 x-200 = DLH 2x-11=2 (2)
ΘΕΜΑ Γ
Γ1) fx=kx=+∞,αν k>0 ή-∞,αν <0
Επομένως αν κ≠0,δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη,οπότε πρέπει κ=0
Δηλαδή fx=μxx2+1
f’x=x2+1-μx∙2xx2+12=x2+μ-2μx2x2+12=-μx2+μx2+12
επείδη y=x εφάπτεται της Cf στο Ο0,0 πρέπει f’0=1<=> μ=1
Γ2) fx=xx2+1
f’x=-x2+1(x2+1)2
f’x=0 ⬄x=±1
| x | – -1 1 +∞ |
| f’x | – 0 + 0 – |
| fx |
Ο.Ε. Ο.Μ.
f-1=-12 και f(1)=12
fx=x→-∞1x=0
fx=x→+∞1x=0
Έστω A1=(-∞,-1] και εφόσον f γνησίως φθίνουσα ότε fA1=[-12,0)
Έστω A2=-1,1 και εφόσον fγνησίως ύξουσα ότε fA2=[-12,12]
Έστω A3=[1,+∞)και εφόσον fγνησίως φθίνουσα ότε fA3=(0,12]
Επομένως fA=[-12,12]
Δίνεται η εξίσωση fx=12+2, για κάθε α∈R.
Αν α≠0 τότε a2>0⇒12+a2> 12, επομένως 12+a2 ∉fA και η εξίσωση είναι αδύνατη
Αν α=0 η εξίσωση γίνεται fx=12 και έχει μοναδική λύση την χ=1
Γ3) I=012ν+12+1dx
I+Iν+1=012ν+12+1dx+012ν+32+1dx=012ν+1(2+1)2+1dx=x2v+22ν+201=12ν+2
I0=012+1dx=12012×2+1dx=12ln (x2+1) 01=12ln 2
Για ν=0, I0+I1=1212ln 2 +I1=12I1=121-ln 2
Για ν=1, I1+I2=14⇔ I2=14-12+12ln 2⇔ I2=-14+12ln 2
ΘΕΜΑ Δ
1)
Θεωρουμε: hx=gx+x, xϵ0,1Η h:συνεχης στο -1,0h0=g0+0=g0>0→αφου 0<g0<1h-1=g-1-1< 0→aφου 0<g-1<1 απο δεδομενα Επομενως απο θεωρημα Bolzano υπαρχει ενα τουλαχιστον x1-1,0
τετοιο ωστε hx1=0⇔gx1+x1=0
Εχουμε h’x=gx+x’=g’x+1≠0 απο δεδομεναΗ h’x συνεχης aφου g’xσυνεχης, οποτε η h’x διατηρει προσημο. Επομενως η hxγνησιως
μονοτονη και η ριζα x1 είναι μοναδικη.
2)
Η f θα ειναι παραγωγισιμη στο 0δηλαδη: fx-f0x-0 =fx-f0x-0 x2gx+xx =2ημx+εφx-κxx ⇔0=2ημxx+εφxx -κ)⇔0=2+1-κ⇔κ=3αφου εφxx =ημχσυνχ=ημχχ∙συνχ=1
Δ3)
i) Στο [0,2)έχουμε fx=2ημχ+εφχ-3
f’x=2συνχ+1συν2-3=2συν3χ+1-3συν2συν2=123-32+12=
=κ-122-κ-12=κ-12κ+12κ-12=2κ+1κ-122>0 (1)
οπου κ=συνx και όταν xϵ[0 ,2), 0<κ≤1 (1)
άρα η f γνησίως αύξουσα στο [0,2)
Όταν χ∈[0,2)τότε χ≥0 και εφόσον f είναι γνησίως αύξουσα τότε f(x)≥f(0)⇔f(x)≥0
ii) fx=x→2-2ημχ+εφχ-3=+∞
Οπότε fA=[0,+∞) και η εξίσωση 3fx=π⇔fx=3
θα έχει ακριβώς ί ίζα 2 αφού το 3ϵfA και η f↗στο Α
Δ4)
- Όταν χϵ(1,0] h από Δ1 διατηρεί πρόσημο και επειδή h0=g0>0
Aρα hx>0 ⇒gx+x>0x2≥0x2gx+x≥0⇒fx≥0 στο 1,0
ii) 10fdx=03fxdx10x2gx+xdx=032ημχ+εφχ-3χdx
10x2gx+x3dx=-2συνχ-ln συνχ -3χ2203
⇔102gxdx+x44x10=-1+ln 2-26+2
⇔102gxdx-144=-1+ln 2-26
⇔102gxdx=144+1+ln 2-26 (*)
Εχουμε 103g’xdx=x3gxx10-3102gxdx
=-x13gx1-3(144+1+ln 2-26 από (*)
=x14-34×14-3-3ln 2 +22
=144+22-3ln 2 -3
Επιμέλεια θεμάτων
Αλεξανδρόπουλος Βαγγέλης
Βρύνας Σπύρος
Βρύνα Λιάνα
Κρίκας Γιώργος
Λιακόπουλος Σπύρος
Παναγιωτοπούλου Μάγδα
Υ.Γ. Οι απαντήσεις είναι ενδεικτικές και προφανώς υπάρχουν και διαφορετικοί τρόποι επίλυσης των θεμάτων.
